Dice Poker

МОДЕЛЬ ИГРЫ DICE POKER

В игре используются 5 кубиков с шестью гранями с цифрами от 1 до 6.

Игрок делает ставку на событие – выпадение выигрышной комбинации из пяти кубиков.

Выпадение каждого из чисел на каждом кубике равновероятно.

Игрок получает выплату только в случае выпадения выигрышной комбинации.

Выплата игроку производится по фиксированным коэффициентам, установленным для каждой выигрышной комбинации определенного ранга.

Раунд состоит из:

• постановки ставки,
• выпадения комбинации на пяти кубиках, брошенных одновременно,
• определения ранга комбинации и результата Игры,
• обслуживание ставки: выплата игроку, в случае выигрыша.

ЗАДАЕМ ВОЗМОЖНЫЕ КОМБИНАЦИИ

Комбинации представлены в порядке снижения ранга.

• Five of a kind – одинаковое значение на всех пяти кубиках;
• Four of a kind – на четырех кубиках выпало одинаковое значение, на любом одном из пяти выпало значение отличное от четырех одинаковых.
• Straight – пять цифр, выпавших на пяти кубиках, обеспечивают непрерывную последовательность.
• Full House – выпадение двух одинаковых цифр на двух и трех одинаковых цифр на трех других кубиках в произвольном порядке.
• Three of a kind– выпадение трех одинаковых цифр на трех любых из пяти кубиков и двух других не одинаковых цифр на дву других кубиках.
• Two pairs – два одинаковых значения на двух кубиках, два других одинаковых значения на других двух кубиках и на пятом кубике – значение, отличное от цифр пар.
• Pair – два одинаковых значения на двух кубиках и три различных значения отличные от цифр пары на трех других кубиках.
• Other – комбинации на пяти кубиках отличные от вышеперечисленных. Комбинации, не содержащие одинаковые цифры и непрерывную последовательность из пяти значений на пяти кубиках.

Старшей по рангу комбинаций является Five of a kind

При определении комбинации, порядок выпавших цифр на кубиках значения не имеет. Т.е. комбинация строится с учетом любых возможных перестановок. Например, выпавшее на пяти кубиках 52431 трактуются, как Straight 12345.

В дальнейшем, определенные Комбинации будут назначены выигрышными.  Комбинация и ее ранг – являются единственным критерием, определяющим выплату.

РАССЧИТЫВАЕМ ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ ВЫПАДЕНИЯ КАЖДОЙ КОМБИНАЦИИ

6⁵=7776 – полное количество вариантов результатов броска пяти кубиков

Из них:

Вероятность выпадения комбинации рассчитывается путем деления количества комбинаций определенного ранга на общее количество возможных комбинаций. Вероятность выпадения комбинации Five of a kind равна 0,000772=6/7776, что соответствует частоте 1:1296. Комбинация Five of a kind выпадает в среднем 1 раз в 1296 раундов. Частота выпадения комбинации – значение обратное Вероятности.

Расчет Вероятностей выпадения комбинаций формулами:

1.  P(five of a kind)=6/(6⁵)=6/7776=0.000771605
2.  P(four of a kind)=6*comb(5;4)*comb(5;1)/(6⁵)=0.019290123
3.  P(straight)=2*5!/(6⁵)=0.030864198
4. P(full house)=6*comb(5;3)*5*comb(2;2)/(6⁵)=0.038580247
5. P(three of a kind)=6*comb(5;3)*2*comb(5;2)/(6⁵)=0.154320988
6.  P(two pairs)=4*comb(5;2)*comb(3;2)*comb(6;4)/(6⁵)=0.23148148
7.  P(pair)=6*comb(5;2)*3!*comb(5;3)/(6⁵)=0.462962963
8. P(other)=(comb(6;5)-2)*5!/(6⁵)=0.061728395

∑Pi=1

comb(m;n)=m!/(n!*(m-n)!,  где  n!=1*2*..*n.

Исходя из вероятностей выпадения событий,  Straight выпадает реже, чем Full House!

Комбинации, которые оплачиваются, составляют 24,38%. В 75,62% ставка игрока проиграет. Т.е. каждая четвертая ставка выигрывает.

ОПРЕДЕЛЯЕМ СОСТАВ ВЫИГРЫШНЫХ КОБИНАЦИЙ

Назначаем выигрышные комбинации – комбинации, при выпадении которых производится выплата игроку:

• Five of a kind
• Four of a kind
• Straight
• Full House
• Three of a kind

Остальные комбинации считаются проигравшими, выплата по ним не производится:

• Two pairs
• Pair
• Other (no combination).

Устанавливаем нижний – минимальный коэффициент для минимальной, наиболее часто выпадающей выигрышной комбинации.

Three of a kind – коэффициент оплаты 1:1

Устанавливаем остальные коэффициенты оплаты выигрышных комбинаций, соблюдая пропроции между вероятностями (частотами) выпадения комбинаций:

Коэффициенты, установленные в соответствии с пропорцией частот (вероятностей) выпадения, позволяют обеспечить равномерное удержание (доходность, return) по каждой комбинации. Если Three of a kind оплачивается 1:1, то следующая по старшинству и частоте выпадения комбинация Full House  будет оплачиваться 4:1, т.к. частота выпадения у комбинации Full House в 4 раза больше частоты выпадения комбинации Three of a kind.

Коэффициенты устанавливаются округленно и могут, в последствии, быть скорректированы в ту или иную сторону для обеспечения заданного уровня доходности игры.

ОБЕСПЕЧИВАЕМ ЗАДАННЫЙ УРОВЕНЬ ДОХОДНОСТИ ИГРЫ

Корректируем коэффициенты оплаты. Рассчитываем параметры Return и House Edge.

Коэффициенты оплаты для модели игры, когда ставка в случае выигрыша не забирается и остается у игрока. Ставка игрока забирается только в случае выпадения проигрышной комбинации:

Дале представлена таблица для модели игры, когда ставка всегда забирается. Для обеспечения такого же уровня доходности игры, каждый коэффициент следует увеличить на 1. В таблице, коэффициенты увеличены на 1 везде, кроме старшей комбинации (коэффициент 101 применять не удобно). В этом случае, доходность игры будет 6,25%.

Старшая комбинация – Five of a kind – комбинация с минимальной вероятностью выпадения, имеет максимальный коэффициент 100, но Return по высшей комбинации меньше, чем у остальных. Эта настройка коэффициентом снижает дисперсию и ряд рисков, которые имеет казино в случае крупного проигрыша, или мошенничества со стороны игроков.

На данном этапе разработки игры с помощью изменения коэффициентов производится балансировка игры: нижние выигрышные комбинации (критерии выплат) имеют одинаковую доходность.

Как правило, во всех играх с подобной структурой, устанавливаются коэффициенты, обеспечивающие плавное снижение показателя Return по мере роста ранга комбинации.

РАССЧИТЫВАЕМ ПОКАЗАТЕЛИ РАССЕИВАНИЯ: ДИСПЕРСИИ И СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Формулы для расчета Дисперсии  и Стандартного отклонения

Или

Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии:

НАХОДИМ ТОЧКУ БЕЗУБЫТОЧНОСТИ ИГРЫ

Рассчитываем модель игры неизменной единичной ставкой ставкой.

Определяем количество раундов, после которых игра будет приносить прибыль с заданным уровнем вероятности.

Определяем максимальный размер возможного проигрыша при игре плоской ставкой на короткой дистанции. Расчёт данных показателей необходим для обеспечения резерва для выплат.

Зеленая прямая – вектор роста дохода казино в зависимости от количества сыгранных раундов N. Угол наклона опеределяется величиной перевеса казино 6,17%.

Верхние и нижние кривые  отражают разброс (рассеивание) результата казино при игре неизменной ставкой 1$ в течение N раундов в доверительных интервалах +/-2σ и +/-3σ. Диапазон +/-3σ соответсвует уровню доверия 99,7%, а в диапазон +/-2σ попадают 95,5% результатов.

Графики поведения EV (Expected Value) и SD (Standard Deviation) показывают, что на короткой дистанции при всегда положительном среднем ожидаемом результате EV, фактические результаты казино могут быть отрицательными – казино может проиграть на короткой дистанции – область ниже нуля. Величина Standard Deviation отражает уровень риска, позволяет вычислить диапазон разброса фактических результатов от среднего математически ожидаемого значения на любой дистанции (любое N рундов) с заданной вероятностью.

Итак, из графика следует, что при игре полоской (неизменной) ставкой 1$ казино может иметь отрицательный результат – проигрыш не более 410$ при уровне доверия 99,7%. Причем с вероятностью 99,7% после 27 тыс. раундов результаты казино будут лежать целиком в положительной области. Купол в диапазоне +/-2σ имеет меньший диапазон рассеивания результатов. Зона отрицательных результатов меньше. Ссредний ожидаемый результат игры после 12000 раундов будет+740$ (1$*12000*6.17%=740$) и с вероятностью 95.5% фактические результаты игры будут лежать в диапазоне +/-2σ, что в денежном выражении от 6$ до 1843$, а означит, с вероятностью 95,5% фактический результат игры для казино будет целиком в положительной области, начиная с 12000 раунда.

Степень рассеивания результатов определяет значение Стандартного отклонения (σ=3,35). Чем меньше занчение σ, тем уже “купол” рассеивания. А математическое ожидание игры, Hose Edge 6.17% определяет угол наклона “купола”. Чем выше перевес казино в игре, тем меньше шансов у игрока на выигрыш на короткой дистанции, тем меньше средств нужно казино для обеспечения резерва для возможных выплат.

Dice Poker имеет умеренные значения House Edge и Standard Deviation. Игра обладает высокой динамикой, устойчивостью и стабильностью математической модели.

Играйте и выигрывайте!